Josephina piensa que ha descubierto un nuevo patrón, que se muestra a la derecha.  

1. Verifica sus ecuaciones mediante multiplicación.
   ¿Su patrón funciona?

   Pista (a):

   Para comprobar un problema de división usando la multiplicación, multiplica el divisor por el cociente. En el segundo caso, multiplica $(x - 1)(x + 1)$. ¿Es igual a $x^2-1$? ¿Cómo puedes comprobar el tercer y cuarto caso?

2. A partir de su patrón, ¿a qué es igual $\frac { x ^ { 5 } - 1 } { x - 1 }$? ¿Es verdad? Justifica tu respuesta.

   Pista (b):

   Busca un patrón en los cocientes. Mira el número de términos y el exponente de cada término.

3. Realiza una conjetura acerca de cómo representar el resultado para $\frac { x ^ { n } - 1 } { x - 1 }$. Necesitarás “…” en el medio de tu expresión.

   Respuesta (c):

   $x^n + x^{n-1} + x^{n-2} +...+ x + 1$

$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 1 } { x - 1 } = 1 } \\ { \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 } = x + 1 } \\ { \frac { x ^ { 3 } - 1 } { x - 1 } = x ^ { 2 } + x + 1 } \\ { \frac { x ^ { 4 } - 1 } { x - 1 } = x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 } \end{array} \right.$