Recuerda que el vértice de la parábola era

$\left(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}\right)$

Recuerda que la única manera de que una parábola tenga solamente un punto de corte con el eje $x$ es que el vértice toque el eje $x$.

Para lograr que la ecuación solo tenga un punto de corte con el eje $x$, debes igualar el valor $y$ del vértice a $0$.

$\textit{y}=2\textit{x}^{2}+3\textit{x}+\frac{9}{8}$