CPM Homework Help : CCAS Problem 9-72

Halla la ecuación de la función exponencial cuyo gráfico atraviesa los puntos $(1, 6)$ y $(4, 48)$ . Si necesitas ayuda, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de esta lección.

Pista:

Para hallar una función exponencial que atraviesa dos puntos dados, crea un sistema de ecuaciones sustituyendo un punto $(x, y)$ en $y = ab^{x}$ , y luego sustituye el otro punto. Reescribe ambas ecuaciones en forma “ $a =$ ”. Resuelve el sistema con el método de igualación de sistemas de ecuaciones para hallar $a$ y $b$ y así podrás creas la ecuación.

Por ejemplo, halla una función exponencial que atraviese $(2, 14)$ y $(5, 112)$ . Crea un sistema de ecuaciones sustituyendo $(x, y) = (2, 14)$ en $y = ab^{x}$ , y luego sustituye nuevamente usando $(x, y) = (5, 112)$ :

$14 = ab^2$ y $112 = ab^5$ Reescribe como $a = \frac { 14 } { b ^ { 2 } }$ y $a = \frac { 112 } { b ^ { 5 } }$ .

Usa el método de igualación de sistemas de ecuaciones para hallar $b$ :

$\left. \begin{array}{l}{ \frac { 14 } { b ^ { 2 } } = \frac { 112 } { b ^ { 5 } } }\\{ 14 b ^ { 5 } = 112 b ^ { 2 } }\\{ 14 \cdot \frac { b ^ { 5 } } { b ^ { 2 } } = 112 }\\{ 14 b ^ { 3 } = 112 }\\{ b ^ { 3 } = \frac { 112 } { 14 } = 8}\\{ b = 2 }\end{array} \right.$

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Usa una de las ecuaciones originales para hallar $a$ :

$\left. \begin{array} { l } { 14 = a b ^ { 2 } } \\ { 14 = a ( 2 ) ^ { 2 } } \\ { \frac { 14 } { 4 } = a } \\ { 3.5 = a } \end{array} \right.$

La ecuación de la función exponencial que atraviesa los dos puntos dados es $y = 3.5 · 2^x$ .

Paso:

$a = 3$