CPM Homework Help : INT2S Problem 10-36

La entrenadora Daniele registró el tiempo que le tomó a cada miembro del equipo de atletismo correr una maratón $5$ K y la cantidad de kilómetros que cada uno corrió como entrenamiento la semana anterior. Espera usar la información para fijar los objetivos del equipo para la próxima temporada.

La entrenadora Daniele usó tecnología para crear las ecuaciones de regresión y diagramas de abajo, pero ahora necesita tu ayuda. En cada ecuación, x es la cantidad de kilómetros corridos como entrenamiento la semana anterior e y es el tiempo necesario para la maratón 5K, en minutos.

Ecuación de regresión

1: $y=16.0+10(0.95)^x$

Diagrama de dispersión

First quadrant scatterplot with decreasing curve, & points clustered around the curve, with the last point above the curve.

Diagrama de valor residual

Residual plot, where the points are scattered randomly above & below the x axis, with the last point, above the x axis.

2: $y=0.0056x^2-0.413x+25.58$

First quadrant scatterplot with decreasing curve, & points clustered around the curve, with the last point on the curve.

Residual plot, where the points are scattered randomly above & below the x axis, with the last point, on the x axis.

3: $y=24.0-0.1972x$

First quadrant scatterplot with decreasing lines, & points clustered around the line, with the last 2 points above the line.

Residual plot, where the points are clustered above & below the x axis, for the left half of the graph, but the right half has a few points, mostly above the x axis.

Determina de qué tipo es cada ecuación (lineal, exponencial, etc.).
Pista (a):
Mira cada ecuación.
Explícale a la entrenadora qué modelo crees que sea el mejor y por qué.
Respuesta parcial (b):
El modelo exponencial es el que representa mejor los datos.
Usa el modelo que elegiste en el punto (b) para predecir cuánto tardará un atleta que corre $10$ , $20$ , y $30$ km por semana en completar la maratón $5$ K. Muestra tu trabajo.
Pista (c):
Sustituye cada una de las distancias en la mejor ecuación.
A la entrenadora le gustaría que todos sus atletas corran la maratón $5$ K en menos de $20$ minutos, así que resolvió la ecuación $20 = 16 + 10\left(0.95\right)^{x}$ y determinó que $x ≈ 17.86 \text{ km}$ . Luego, anunció orgullosa que si logra que sus atletas corran $18 \text{ km}$ por semana, deberían completar la maratón $5$ K en menos de $20$ minutos. Suponiendo que sus cálculos son correctos, explica cuáles son las falencias de su plan.
Pista (d):
¿Muestra este estudio una relación de causa y efecto?