CPM Homework Help : INT3S Problem 8-112

Carlo está intentando factorizar el polinomio $p\left(x\right) = x^{4} – 4x^{3} – 4x^{2} + 24x – 9$ para hallar todos sus ceros. Descubre un factor realizando una conjetura y dividiendo el polinomio, así que tiene $p\left(x\right) = \left(x – 3\right)\left(x^{3} – x^{2} – 7x + 3\right)$ . Ahora está intentando factorizar $x^{3} – x^{2} – 7x + 3$ ; para ello, intenta dividirlo por $(x+3)$ , luego por $\left(x + 1\right)$ , y finalmente por $\left(x – 1\right)$ , aunque ninguno de ellos funciona sin que quede un resto. Luego, aparece Teo y dice: “Deberías mirar el gráfico”.

¿De qué manera ayuda el gráfico?

Completa el problema.

Respuesta (a):

Muestra que $x = 3$ es una raíz doble, entonces $\left(x − 3\right)$ es un factor repetido.

Paso 1 (b):

Divide $x^{3} − x^{2} − 7x + 3$ entre $\left(x − 3\right).$ .
Un rectángulo de 2 por 3, rotulado como sigue: borde izquierdo, x, menos 3, borde de arriba a la izquierda, x al cuadrado, la parte interna de arriba a la izquierda, x al cuadrado.

Paso 2 (b):

Rótulos añadidos: parte interna de abajo a la izquierda, menos 3 x al cuadrado; parte interna de arriba en el medio, 2 x al cuadrado

Paso 3 (b):

Rótulos añadidos: borde de arriba en el medio, 2 x, parte interna de abajo en el medio, menos 6 x. Parte interna de arriba a la derecha, menos x.

Paso 4 (b):

Rótulos añadidos, borde de arriba a la derecha, menos 1; parte interna de abajo a la derecha, 3.

Paso 5 (b):

Ahora, usa la fórmula cuadrática para despejar la $x$ .

Respuesta (b):

$x = 3, -1 \pm \sqrt{2}$