Para esta ecuación, ¿es $f(−x)=f(x)$ o es $f(−x)=−f(x)$?

Sustituye la $x$ por $−x$ y simplifica.

$y=\frac{2}{3}(-x)+1$

$y=-\frac{2}{3}x+1$

Este resultado no es igual al original, así que no es par, y no es igual al opuesto, así que no es impar. El opuesto de la ecuación sería.
$-y=-\frac{2}{3}x-1$

Para esta ecuación, ¿es $f(−x)=f(x)$ o es $f(−x)=−f(x)$?

$y=(−x+2)^2=x^2−4x+4$

Dado que $(x+2)^2=x^2+4x+4$
y $−(x+2)^2=−x^2−4x−4$
esta ecuación no es ni par ni impar.

Mira las partes (a) y (b).

Sí, $f(−x)=f(x)$, lo cual la hace par.